Zbiory. Zbiór liczb rzeczywistych

Zbiór

Zbiór jest pojęciem pierwotnym, czyli takim, którego nie definiujemy. Można jedynie ogólnie powiedzieć, że jest grupą różnych elementów. Zbiory oznaczamy wielkimi literami np. A, B, C, ... .

Elementy zbioru oznaczamy małymi literami np. a, b, c, ..., a to, że dany elementy przynależy do jakiegoś zbioru zapisujemy znakiem
Jeśli element nie należy do zbioru używamy symbolu
- element x należy do zbioru A.
- element b NIE należy do zbioru K.
Zbiór o określonych elementach zapisujemy w nawiasach sześciennych {}. Zapis oznacza zbiór A o trzech elementach a, b oraz c.

Podzbiór jest to zbiór zawierający elementy zbioru nadrzędnego. Zbiór {1, 2} jest podzbiorem zbioru {1, 2 , 3} co zapisujemy jako . Inaczej zbiór {1, 2 , 3} zawiera zbiór {1, 2}. Kolejność ustawienia elementów nie jest ważna.

Równość zbiorów. Mówimy, że zbiory są równe, kiedy zawierają te same elementy {1, 2}={2, 1}

Zbiór pusty jest to zbiór nie zawierający żadnych elementów.
Oznaczamy go symbolem .

Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru.

Suma zbiorów

Suma zbiorów A i B jest to zbiór zawierający wszystkie elementy należące do zbioru A lub do zbioru B.

Sumę zbiorów zapisujemy jako .
Definicja zapisana wzorem:

Suma zbiorów A i B () jest to zbiór {} takich elementów (x), że (:) każdy z elementów należy do zbioru A () lub () należy do zbioru B ().

Część wspólna (iloczyn) zbiorów

Część wspólna zbiorów A i B jest to zbiór zawierający te elementy, które należą do zbioru A i do zbioru B.

Iloczyn zbiorów zapisujemy jako .
Definicja zapisana wzorem:

Iloczyn (część wspólna) zbiorów A i B () jest to zbiór {} takich elementów (x), które (:) należą do zbioru A () i jednocześnie () należą do zbioru B ().

Różnica zbiorów

Różnica zbiorów A - B jest to zbiór zawierający te elementy, które należą do zbioru A i nie należą zbioru B.

Różnicę zbiorów zapisujemy jako .
Definicja zapisana wzorem:

Różnica zbiorów A i B () jest to zbiór {} takich elementów (x), które (:) należą do zbioru A () i jednocześnie () NIE należą do zbioru B ().

---

Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych.

Czytaj więcej o:
Działaniach w zbiorze liczb rzeczywistych.

Zbiór liczb naturalnych
Oznaczamy literą .

Podzbiorem jest między innymi zbiór liczb naturalnych dodatnich . Zawiera wszystkie liczby naturalne oprócz 0.
Zapis oznacza różnicę zbiorów - liczb naturalnych oraz zbioru jednoelementowego zawierającego liczbę 0, czyli liczby naturalne bez "0".
W zbiorze liczb naturalnych wyróżniamy:

Liczby pierwsze - liczby naturalne większe od 1, których dzielnikami są one same i liczba 1.

To znaczy, że wynikiem dzielenia jest liczba naturalna. Dzieląc je przez jakąkolwiek inną liczbę naturalną NIE otrzymamy liczby naturalnej.
Przykłady liczb pierwszych:
2 - dzieli się tylko przez 1 i 2
3 - dzieli się tylko przez 1 i 3
5 - dzieli się tylko przez 1 i 5
7 - dzieli się tylko przez 1 i 7

Liczby złożone - liczby naturalne większe od 1, które mają więcej niż 2 dzielniki (nie są liczbami pierwszymi).

0 i 1 nie są liczbami pierwszymi, ani złożonymi.
Przykłady liczb złożonych (więcej niż 2 dzielniki):
4 - dzieli się przez 1, 2, 4
6 - dzieli się przez 1, 2, 3, 6
8 - dzieli się przez 1, 2, 4, 8
9 - dzieli się przez 1, 3, 9

Zbiór liczb całkowitych
Oznaczamy (lub ).

Podzbiorami są między innymi:
- zbiór liczb całkowitych dodatnich
- zbiór liczb całkowitych ujemnych

Zauważ, że

- zbiór liczb całkowitych dodatnich jest identyczny ze zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Zbiór liczb wymiernych

Czytaj więcej o:
Liczbach wymiernych.

Oznaczamy (lub W).
- zbiór liczb wymiernych jest to zbiór wszystkich liczb które da się zapisać w postaci ułamka zwykłego , gdzie p jest liczbą całkowitą () oraz () q jest liczbą całkowitą oprócz 0 ().

- zbiór liczb całkowitych jest podzbiorem liczb wymiernych
- zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem liczb wymiernych

Zbiór liczb niewymiernych
Oznaczamy (lub NW).
Jest to zbiór wszystkich liczb, których nie da się zapisać w postaci ułamka zwykłego . Przykładem jest , liczba i inne.
Zbiór liczb rzeczywistych
Oznaczamy jako
Jest sumą zbiorów liczb wymiernych i niewymiernych:
- zbiór liczb rzeczywistych dodatnich
- zbiór liczb rzeczywistych ujemnych

---

Przedziały liczbowe.

Czytaj więcej o:
Podstawach przedziałów liczbowych

Przedziały liczbowe można zapisywać w bardziej skomplikowanych postaciach. Możemy teraz wykorzystać działania na zbiorach. Spróbujmy zapisać przedziałem nierówność:

2 < x < 5 (x jest większe od 2 i mniejsze od 5)
- przedział od 2 do 5 (bez 2 i bez 5).
Zauważ, że przedział ten jest równoznaczny z przedziałem (różnicą zbiorów) - wszystkie liczby rzeczywiste oprócz tych od 2 do 5 (wliczając 2 i 5).

2 > x > 5 (nierówność określa x mniejsze od 2 i większe od 5)
Jest to suma dwóch przedziałów:


Podobnie można łączyć dowolne przedziały w zależności jakie liczby chcemy przedstawić: Taki przedział oznacza wszystkie liczby rzeczywiste od 1 (włącznie z 1) do włącznie oraz wszystkie liczby rzeczywiste większe od 5 (NIE wliczając 5)