Ułamki zwykłe

Ułamki zwykłe

Najprościej mówiąc ułamki to części całości.
składają się z licznika (liczba na górze) i mianownika (liczba na dole). Pomiędzy nimi jest kreska ułamkowa.
Mianownik oznacza na ile części zostało coś podzielone, a licznik - ile z tych części wykorzystujemy, czyli oznacza, że coś (np. tort) podzieliliśmy na 8 (mianownik) części, ale mamy na myśli tylko 3 z nich (licznik).

Ujemne ułamki traktujemy jak normalne liczby.

---

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.

Większość działań na ułamkach wymaga sprowadzenia ułamków do takiego samego mianownika. Sprowadźmy oraz do wspólnego mianownika. Wspólny mianownik oznacza takie same liczby pod kreską ułamkową. Tutaj nasze mianowniki to 3 i 5. Wspólny mianownik musi być podzielny przez oba poprzednie mianowniki. Najłatwiej znaleźć taka liczbą mnożąc przez siebie oba mianowniki 3*5=15. Czasami istnieje mniejsza liczba, która jest podzielna przez oba mianowniki. Najmniejsza taka liczba to najmniejsza wspólna wielokrotność. Nie zawsze łatwo ją znaleźć, a mnożenie mianowników zawsze się sprawdza.
Mamy wspólny mianownik: 15.
Musimy teraz rozszerzyć ułamki do takich o mianownikach 15.

Rozpatrujemy ułamki po kolei. Najpierw .
• Dzielimy nowy mianownik przez stary 15:5=3.
• Mnożymy licznik przez otrzymany wyżej wynik 2*3=6. Wynik to nasz nowy licznik.
• Rozszerzony ułamek to

Teraz .
• Dzielimy nowy mianownik przez stary 15:3=5.
• Mnożymy licznik przez otrzymany wyżej wynik 1*5=5. Wynik to nasz nowy licznik.
• Rozszerzony ułamek to .

Ułamek i jego rozszerzenie są równe .

Dodawanie (odejmowanie) ułamków zwykłych

Polega na sprowadzaniu obu ułamków do wspólnego mianownika i dodaniu (odjęciu) liczników. Spróbujmy dodać . Mamy mianowniki 8 i 9.
Mnożymy je 8*9=72 i mamy wspólny mianownik: 72.
Teraz rozszerzamy ułamki do tego mianownika, czyli dla dzielimy 72 przez mianownik 72:9=8 i teraz wynik mnożymy przez licznik: 8*4=32 czyli naszym rozszerzonym ułamkiem jest . Drugi ułamek podobnie 72:8=9 i 7*9=63 i mamy teraz możemy dodać oba ułamki . Nasz wynik jest ułamkiem, którego nie da się już bardziej uprościć (skrócić).
Odejmowanie działa na takiej samej zasadzie, tylko liczniki odejmujemy.

Porównywanie ułamków zwykłych

Polega na sprowadzaniu ich do wspólnego mianownika i porównaniu liczników. Czyli jeśli np. chcemy wiedzieć czy jest większe od sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika (podobnie jak przy dodawaniu i odejmowaniu).
Wspólny mianownik: 8*3 = 24.
Pierwszy ułamek: 24:8=3, 3*5=15, więc
Drugi ułamek: 24:3=8, 8*2=16, więc
Teraz porównujemy liczniki 16 > 15, więc , czyli

---

Mnożenie liczby przez ułamek zwykły

Przykładowo trzeba pomnożyć tę liczbę przez licznik ułamka. Wynik, jeśli się da, trzeba uprościć: . W tym przypadku ułamka nie da się bardziej uprościć (tzn. nie ma takiej liczby całkowitej, przez którą można podzielić i licznik, i mianownik.
Jeśli mnożymy ułamek przez ułamek sprawa jest również prosta - licznik mnożymy przez licznik, a mianownik przez mianownik: . Tutaj również bardziej uprościć się nie da.

Liczba całkowita np. 6 to ułamek o mianowniku 1,

Dzielenie liczb i ułamków zwykłych przez ułamek zwykły

Jest to podobne do mnożenia. Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność: , podobnie przy liczbach: .
Jeśli licznik jest większy od mianownika, to znaczy że ułamek jest większy od 1 i powinniśmy go zapisać jako liczba całości i dopiero ułamek. Najprościej można podzielić licznik przez mianownik np. 40:9=4 reszta 4, czyli będą 4 całe (wynik dzielenia) i (reszta z dzielenia) = .

Liczbą odwrotną do np. 6 jest , a do np. jest . Jeśli pomnożysz liczbę i liczbę do niej odwrotną otrzymasz 1.

Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny

Trzeba ułamek zwykłyrozszerzyć go tak, aby mianownik był równy 10, 100, 1000, ... .Przy mianownik to 5. Więc trzeba pomnożyć 5 przez taką liczbę, aby osiągnąć 10 (10 jest bliższym mianownikiem niż np 100 czy 1000, ale je również można wykorzystać).
Wystarczy wykonać dzielenie 10:5 = 2.
Otrzymany wynik mnożymy przez licznik, czyli w tym przypadku 1*2 = 2.
I teraz nasz wynik zapisujemy jako 0,2. (na pierwszym miejscu po przecinku, bo mnożyliśmy przez 10 - jedno zero)
Dla najbliższym mianownikiem może być 100, więc 100:20 = 5, 5*18 = 90, więc nasz ułamek to 0,90 (dziewięćdziesiąt setnych) co jest jednoznaczne z 0,9 (dziewięć dziesiątych).
Zauważ, że , jest ułamkiem, którego licznik i mianownik można podzielić przez 2 (skrócić go): . Nazywamy to rozwinięciem dziesiętnym ułamka zwykłego.

Tak samo jak możesz dopisywać zera przed liczbą całkowitą nie zmieniając jej np. 20 = 020 = 0020 to tak tutaj możesz dopisywać zera za ułamkiem dziesiętnym np. 0,5 = 0,50 = 0,500

Zamiana trudnego ułamka zwykłego na dziesiętny np.

Czasami jest tak, że nie da się podzielić 10 przez mianownik, tak aby otrzymać liczbę całkowitą. Np jeśli chcemy zamienić ułamek na dziesiętny i wykonamy działanie 10:3 nie otrzymamy liczby całkowitej. Można spróbować podzielić 1 przez 3 pisemnie:

  0,333...
  1:3
- 0       
  10
-  9      
   10
-  9      
   ....

Wyszedł nam ułamek, w którym po przecinku powtarza się cały czas cyfra 3. Powtarza się ona w nieskończoność.
Takie ułamki nazywamy okresowymi. Okresem nazywamy część ułamka, która się powtarza. Tutaj jest to ułamek dziesiętny o okresie 3 co zapisujemy w postaci 0,(3).

Przy rozwiązywaniu zadań, gdzie są ułamki zwykłe i dziesiętne, najlepiej wszystkie zamienić na zwykłe i potem wykonać obliczenia.
To dlatego, że nie każdy ułamek zwykły zapiszesz jako dziesiętny.