Potęga o wykładniku wymiernym

Czytaj również o:
Potędze o wykładniku naturalnym - podstawy potęgowania
Potędze o wykładniku całkowitym

Potęga o wykładniku wymiernym stosuje się do tych samych zasad co potęga o wykładniku całkowitym.
Dodatkowo tutaj oprócz liczb całkowitych wykładnikiem mogą być również ułamki.

---

Potęga o wykładniku wymiernym dodatnim.

Potęgą liczby (rzeczywistej nieujemnej) o wykładniku wymiernym dodatnim postaci , gdzie nazywamy liczbę .

Prościej:

• potęga o wykładniku wymiernym dodatnim wygląda tak:
• podstawą potęgi jest liczba "a", a wykładnikiem jest ułamek . Ułamek (wykładnik) jest liczbą dodatnią, więc licznik (m) i mianownik (n) muszą być liczbami naturalnymi dodatnimi. Jeśli jeden z nich byłby ujemny cały ułamek byłby ujemny.
• taką potęgę przedstawiamy jako pierwiastek stopnia (n), z liczby (a) podniesionej do potęgi (m)

---

Potęga o wykładniku wymiernym ujemnym.

Czytaj również o:
Pierwiastku arytmetycznym

Potęgą liczby o wykładniku wymiernym ujemnym postaci , gdzie nazywamy liczbę .

Prościej:

• potęga o wykładniku wymiernym ujemnym wygląda tak:
• podstawą potęgi jest liczba "a", a wykładnikiem jest ułamek
• potęgę tę przedstawiamy jako 1 przez pierwiastek stopnia (n),z liczby (a) podniesionej do potęgi (m)

---

Potęga o wykładniku dodatnim różni się od tej o wykładniku ujemnym tylko tym, że potęga o wykładniku ujemnym jest odwrotnością tej o wykładniku dodatnim:

---

Wszystkie działania na potęgach pozostają bez zmian.

Mnożąc potęgi o tej samej podstawie (a) wykładniki dodajemy:
Pamiętaj - dodając ułamki sprowadzamy je do wspólnego mianownika.

Czytaj również o:
Sprowadzaniu ułamków do wspólnego mianownika

zobacz przykład:

---

Dzieląc potęgi o tej samej podstawie wykładniki odejmujemy:
Tutaj musimy założyć , bo dzielenie przez 0 jest niewykonalne.

Pamiętaj, że dzielenie to inaczej mnożenie przez odwrotność.

Więc możemy zapisać mianownik jako swoją odwrotność:
Jak wiadomo odwrotność to potęga do (-1):
Potęgując potęgi wykładniki mnożymy:
Wniosek:

Przykład:
Jeśli mamy w zadaniu pierwiastki, z którymi nie wiadomo co zrobić - zawsze warto zamienić pierwiastek na potęgę. Na potęgach łatwo wykonywać działania:

---

Potęgując potęgi wykładniki mnożymy:

Przykład: