Ułamki dziesiętne

Ułamki dziesiętne

to ułamki zwykłe, których mianownik to 10, 100 ,1000, ..., przykładowo 0,3 (trzy dziesiętne) to jest , a 0,56 (pięćdziesiąt sześć setnych) to (Jeśli ułamek dziesiętny ma 2 cyfry po przecinku to znaczy, że ułamek zwykły będzie miał w mianowniku 1 i dwa zera czyli 100, jak są 3 cyfry to będą trzy zera - 1000 itd.)


Dodawanie (odejmowanie) ułamków dziesiętnych

Dodając lub odejmując ułamki dziesiętne trzeba pamiętać, aby dodawać (odejmować) odpowiednie rzędy, czyli części dziesiąte z dziesiątymi, setne z setnymi i tak dalej. Np 0,1+0,1=0,2, ale 0,1+0,01=0,11. Najłatwiej robi się to pisemnie. Ważne jest, aby ułamki zapisać tak, żeby ich przecinki były pod sobą:
   0,245
+ 12,46  
  12,505
Wtedy masz pewność, że dziesiątki będą dodane do dziesiątek, setki do setek, a przecinek przepisujesz w tym samym miejscu. Inaczej mówiąc wybieramy ułamek który ma więcej liczb po przecinku i w wyniku powinno być tyle samo liczb po przecinku (tutaj 0,245 ma 3 liczby po przecinku więc w wyniku również są 3 : 12,505)

Mnożenie ułamków dziesiętnych

Najłatwiej jest robić pisemnie.
Mnożenie:
   12,26
*  0,245 
    6130
   4904= 
+ 2452== 
 3,00370
Tutaj przecinek znajduje się po takim miejscu, ile cyfr po przecinku mają razem obie liczby. Czyli tutaj po przecinku 12,26 ma 2 cyfry a 0,245 ma 3. Razem jest 5 więc odliczamy 5 cyfr i stawiamy przecinek. Jak widać 3,00370 to jest to samo co 3,0037 więc wynik ostateczny to 3,0037.

Dzielenie ułamków dziesiętnych

Podzielmy 1,32 przez 0,2. Przed dzieleniem pisemnym trzeba przesunąć przecinki tak, aby powstały nam liczby całkowite. Więcej cyfr po przecinku ma 1,32 - 2 więc przesuwamy o 2 miejsca. Z 1,32 mamy 132, a z 0,2 mamy 20 (jest tylko 1 liczba po przecinku, więc dopisujemy zero za każdą brakującą cyfrę). Teraz dzielenie wykonujemy na liczbach całkowitych 132:20
   6,6  
 132:20
- 120   
   120
-  120  
   ===

Przesuwając przecinek w prawo o 1 miejsce to tak, jak byśmy mnożyli liczbę przez 10, jeśli o 2 miejsca to przez 100.
Podobnie przy przesuwaniu w lewo: tak jak dzielenie (o 1 miejsce przez 10, o 2 miejsca to przez 100)


Zamiana ułamka dziesiętnego na zwykły

Taka zamiana jest bardzo prosta. Np. 0,75 zapisujemy jako . Teraz trzeba ten ułamek uprościć. Polega to na tym, że licznik i mianownik dzielimy przez tą samą liczbę. W tym przypadku od razu na myśl przychodzi dzielenie przez 5. Więc Jak widać licznik i mianownik nadal można podzielić przez wspólną liczbę. Akurat znowu to jest 5, więc Tego nie da się już podzielić przez żadną wspólną liczbę.
Tak więc już wiemy, że 0,75 = Jeśli w ułamek zawiera również całości np. 4,32 to postępujemy tak samo. 4,32 to , ale pozostańmy przy postaci (chyba, że ktoś specjalnie nie chce wyłączać całości).
Taki ułamek możemy uprościć, 32 i 100 można podzielić na 2. Otrzymujemy
16 i 50 dalej można podzielić przez 2: . Tego dalej nie uprościmy. To już jest wynik końcowy zamiany.

Możemy tak zrobić, ponieważ rozszerzając ułamek mnożymy lub dzielimy licznik i mianownik przez tę samą liczbę i wygląda to w ten sposób: , czyli tak naprawdę mnożymy lub dzielimy przez 1, bo . Sama wartość ułamka się nie zmienia - zmieniła się tylko ilość części na jakie podzieliliśmy ułamek i liczba części, które z nich wykorzystujemy.

Zamiana trudnego ułamka dziesiętnego 2,1(32) na zwykły

Ułamek okresowy - ułamek w którym pewna część zwana okresem powtarza się w nieskończoność. Okres zapisujemy w nawiasach. W liczbie 0,(4) okresem jest 4, czyli w rzeczywistości ten ułamek wygląda tak 0,4444... i tak 4 powtarza się do nieskończoności.
Jeśli chcemy zamienić taki ułamek na ułamek zwykły:
  • Jako niewiadomą x oznaczamy naszą liczbę
  • Mnożymy naszą liczbę przez 10
  • Od otrzymanego wyniku odejmujemy nasz początkowy ułamek. Obie strony.

    Zauważ, że okresy się zredukowały.
  • Dzielimy przez liczbę stojącą przy x (aby otrzymać pojedynczy x) i to będzie nasz wynik.
Trudniejszym przypadkiem jest liczba, gdzie okres NIE jest zaraz za przecinkiem np 2,1(32):
  • Zaczynamy podobnie. Jako niewiadomą x oznaczamy naszą liczbę 2,1(32)

    Do naszych wyliczeń potrzebujemy takie 2 liczby, gdzie w jednej pełny okres jest przed przecinkiem w drugiej za przecinkiem.
    Tak więc przesuwamy przecinek o tyle miejsc w prawo aby otrzymać takie liczby - czyli faktycznie mnożymy je przez 1 i tyle zer o ile miejsc trzeba było przesunąć przecinek.
  • W pierwszym przypadku przecinek przesuwamy o 3 miejsca - pełny okres przed przecinkiem czyli 2132,(32), czyli mnożymy go przez 1000 (przesunęliśmy przecinek o 3 miejsca)
  • W drugim przypadku przecinek przesuwamy o 1 miejsce - pełny okres od razu za przecinkiem 21,(32), czyli mnożymy go przez 10 (przesunęliśmy przecinek o 1 miejsce)
  • Od naszej pierwszej liczby (większej) odejmujemy drugą (mniejszą). Również obie strony.

    Liczby odejmujemy od liczb, a okresy się redukują.
  • Dzielimy przez liczbę stojącą przy x, otrzymując wynik.

Zaokrąglanie liczb.
Załóżmy, że mamy ułamek dziesiętny z wieloma cyframi po przecinku np. 3,32496, ale chcemy go zapisać tylko z 3 cyframi po przecinku.
Taki zapis nazywamy przybliżeniem dziesiętnym. Przybliżenie do 3 cyfr po przecinku jest przybliżeniem do tysiącznych części ułamka. W naszym przypadku odpadną 2 ostatnie cyfry: 3,32496. Powinniśmy dany ułamek zaokrąglić. Polega to na tym, że patrzymy na pierwszą cyfrę, którą wyrzucamy u nas to będzie 9. Jeśli jest ona równa lub większa od 5 to dodajemy 1 do naszej ostatniej cyfry nowego ułamka (tutaj 4+1=5). Tak powstał nowy ułamek 3,325. Jest on przybliżeniem dziesiętnym liczby 3,32496. Jeśli pierwsza wyrzucana cyfra jest mniejsza od 5, to pozostawiamy nową liczbę bez zmian.
Przybliżeniem dziesiętnym (zaokrągleniem) do jedności (bez miejsc po przecinku) liczby 12,3 jest 12, a liczby 4,8 jest liczba 5. Zawsze rozpatrujemy, czy w odcinanej części pierwsza liczba jest większa lub równa 5, czy mniejsza. Jak mniejsza - to nic nie robimy - tylko odcinamy niechcianą część, jeśli jest większa dodajemy 1 do ostatniej cyfry.
Zaokrąglenie 19,8 to 20 - odcinając 8 (jest większe od 5) dodajemy 1 do 9. Otrzymujemy 10, więc zapisujemy 0, a tą jedynkę dodajemy do kolejnej cyfry przed 9 - tutaj 1+1=2. I jest 20.

Czegoś nie ma?
Nie rozumiesz?
Napisz!


Przepraszamy - aktualnie nie ma zadań do tej lekcji


Początek strony
egzamin gimnazjalny i matura z tangens.pl

tematy ¤ konto ¤ forum ¤ faq ¤ zaloguj ¤ programy ¤ CopyrightHEXAGON® 2008